viernes, 5 de noviembre de 2010

PARÁBOLA-ELIPSE-HIPÉRBOLA

Parábola




Ahora, vamos a deducir las ecuaciones de las secciones cónicas a partir de su definición como lugares geométricos y no como la intersección de un cono con un plano, como se hizo en la antigüedad. Ya conocemos que la gráfica de una función cuadrática$f(x)= ax^2+bx+c=0$ con $a \neq 0$, es una parábola. Sin embargo, no toda parábola es la gráfica de una función, como podemos concluir de la siguiente definición.


 Definición
Una parábola es el conjunto de puntos $P(x,y)$ en el plano que equidistan de un punto fijo $F$(llamado foco de la parábola) y de una recta fija $L$ (llamada la directriz de la parábola) que no contiene a $F$ (figura 1).




Figura 1.
El punto medio entre el foco y la directriz se llama vértice, la recta que pasa por el foco y por el vértice se llama eje de la parábola.Se puede observar en la figura 1 que una parábola es simétrica respecto a su eje.






 Teorema (ecuación canónica de la parábola)
La forma canónica de la ecuación de una parábola con vértice $v = (h, k)$ y directriz $y = k - p$ es
\begin{displaymath}{\left( x - h \right) }^2 = 4\,p\,\left( y - k \right)\end{displaymath}




El eje de la parábola es vertical y el foco $F$ está a $\vert p\vert$ unidades (orientadas) del vértice. Si $p > 0$ , la parábola abre hacia arriba y el foco está en $(h, k + p)$; si $p < 0$,  la parábola abre hacia abajo y el foco está en $(h, k - p)$. 
Si la directriz es $x = h - p$ (eje horizontal), la ecuación es 







\begin{displaymath}{\left( y - k \right) }^2 = 4\,p\,\left( x - h \right)\end{displaymath} 

El eje de la parábola es horizontal y el foco $F$ está a $\vert p\vert$ unidades (orientadas) del vértice. Si $p > 0$ , la parábola abre hacia la derecha y el foco está en $(h + p, k)$ ; si $p < 0$,  la parábola abre hacia la izquierda y el foco está en $(h - p, k)$.

Observación : la demostración de este teorema no es difícil, basta aplicar la definición y la fórmula de distancia (figura 1).Para el caso en el cual el eje de la parábola es vertical, tenemos que 


\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} {\sqrt{{\left( x - h \right) }^2 + {\le... ...) }^2 & = & 4\,p\,\left( y - k \right) \\ & & \\ \end{array}\end{displaymath}  
Propiedades de la parábola
 Una de las propiedades geométricas de la parábola más utilizada fue descubierta por los griegos : un rayo, por ejemplo, de luz, que emane del foco, se refleja en la parábola a lo largo de una trayectoria paralela al eje de la parábola, sin importar cual sea el punto de reflexión.O recíprocamente, un rayo paralelo al eje de la parábola y reflejado en ella pasa por el foco.Este hecho es útil en la construcción de linternas, faros automotrices y faros buscadores, en los cuales el reflector tiene una sección transversal parabólica y la fuente luminosa esta en el foco.Igualmente, en los telescopios y receptores de radar, las señales de una fuente remota entran paralelas al eje y se reflejan pasando por el foco, mediante un reflector parabólico.La potente concentración que produce un reflector parabólico grande, como el de un radiotelescopio, hace posible detectar y analizar señales luminosas muy pequeñas. 

  Teorema (propiedad de reflexión)
La tangente a una parábola en un punto $P = (x, y)$ forma ángulos iguales con :
$\bullet\;$ La recta que pasa por $P$ y por el foco (ángulo de reflexión).
$\bullet\;$ La recta que pasa por $P$ y es paralela al eje de la parábola (ángulo de incidencia).


La propiedad de reflexión se muestra en la figura 5.


Figura 5.


Ejemplo:
Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el punto $(1, 1)$ y recta directriz $x + y = 1$.
Solución
Observe que en este caso la recta directriz no es vertical ni horizontal por lo que, el teorema no nos ayuda en nada y debemos recurrir a la definición misma. Como el eje de la parábola es ortogonal a la directriz y debe pasar por el vértice entonces debe tener ecuación $y = x$. Para hallar el valor de $p$ debemos resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales y calcular la distancia al vértice. 

\begin{displaymath}\begin{array}{rcl} x+y & = & 1 \\ & & \\ y& = & x \\ \end{array}\end{displaymath} 

Puesto que la solución es $\displaystyle{\left(1/2, 1/2\right)}$, entonces $\,p=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}}\,$ y el foco sería $\,F=\displaystyle{\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)}$ 
Para hallar la ecuación de la parábola suponga que el punto $P = (a, b)$ esta sobre ella, entonces para poder calcular la distancia de este punto a la directriz debemos hallar la recta que pasa por este punto y es paralela al eje de la parábola. Dicha recta tienen ecuación 


\begin{displaymath}y=x+b-a\end{displaymath} 

Ahora debemos resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales con la idea de calcular la distancia que buscamos

\begin{displaymath}\begin{array}{rcl} y & = & x+b-a \\ & & \\ y& = & x \\ \end{array}\end{displaymath} 

La solución de este sistema es

\begin{displaymath}Q = \left( \frac{1 + a - b}{2}, \frac{1 - a + b}{2}\right)\end{displaymath} 

con lo cual la ecuación de la parábola es 


\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} d(F, P) & = & d(P, Q) \\ & & \\ d(\d... ...2} \\ & & \\ x^2 - 2\,x\,y + y^2 - 4 & = & 0\\ \end{array}\end{displaymath}


Figura 4.




Elipse


Más de mil años después de que los griegos definieran las secciones cónicas, en la época del Renacimiento, el astrónomo polaco Nicholas Copérnicus (1473 - 1543), en su obra : Sobre las revoluciones de las esferas celestes, sostenía que todos los planetas, incluso la Tierra, giraban en órbitas circulares alrededor del Sol.Aunque muchas de las afirmaciones de Copérnico no eran válidas la controversia provocada por su teoría heliocéntrica empujó a los astrónomos a buscar un modelo matemático que explicará los movimientos de los planetas y el Sol. El primero en hallarlo fue el astrónomo alemán Johannes Kepler (1571 - 1630).Kepler descubrió que los planetas giran alrededor del Sol en órbitas elípticas, con el Sol colocado no en el centro sino en uno de los focos. El uso de las elipses para explicar el movimiento de los planetas es tan sólo una de sus diversas aplicaciones. Al igual que lo hicimos para la parábola vamos a definir la elipse como un lugar geométrico de puntos. En este caso usando dos puntos focales en vez de uno.










 Definición
Una elipse es el conjunto de puntos$(x, y)$ cuya suma de distancias a dos puntos distintos prefijados (llamados focos) es constante.
La recta que pasa por los focos corta a la elipse en dos puntos llamados vértices. La cuerda que une los vértices es el eje mayorde la elipse y su punto medio el centro de la elipse. La cuerda perpendicular al eje mayor y que pasa por el centro se llama eje menor de la elipse.
Para visualizar la definición de la elipse, basta imaginar dos chinches clavados en los focos y un trozo de cuerda atada a ellos. Al ir moviendo un lápiz que tensa esa cuerda, su trazo irá dibujando una elipse, como se muestra en la figura 1.


Figura 1.




Figura 2.

Observación : de la figura 2, podemos deducir que $d(V_1,F_1)+d(V_1,F_2)=2a$ (tomando $P=V_1$), es decir, $2a$ es la constante a la que se refiere la definición.

Los focos están en el eje mayor a $c$ unidades del centro con $c^2=a^2-b^2$,y el eje mayor es horizontal.En el caso de que el eje mayor sea vertical la ecuación toma la forma:




\begin{displaymath}\frac{{\left( x - h \right) }^2}{b^2} + \frac{{\left( y - k \right) }^2}{a^2} = 1\end{displaymath}
Observación : la demostración de este teorema no es complicada, basta aplicar la definición y la fórmula de distancia (figura 2).




\begin{displaymath}{\sqrt{{\left( x - \left( h - c \right) \right) }^2 + {\left... ...h + c \right) \right) }^2 + {\left( y - k \right) }^2}} = 2\,a\end{displaymath}




Simplificando




\begin{displaymath}\left( a^2 - c^2 \right) \,{\left( x - h \right) }^2 + a^2\,{\left( y - k \right) }^2 = a^2\,\left( a^2 - c^2 \right)\end{displaymath}




Pero, $c^2=a^2-b^2$ y así obtenemos la ecuación canónica de la elipse
La excentricidad es una medida de la "circularidad" de una elipse, entre más cerca de cero más circular y entre más cerca de uno más alargada.


Una de las propiedades geométricas más interesante de la elipse afirma que: un rayo que emana de uno de los focos de la elipse y se refleja en ella pasa por el otro foco; esta propiedad se conoce como la propiedad reflectora (figura 3).










 Teorema (propiedad de reflexión)
La recta tangente a una elipse en un punto $P$ forma ángulos iguales con las rectas que pasan por $P$ y por alguno de los focos.



Figura 3.


Ejemplo 3
Determine la ecuación canónica de la elipse con ejes paralelos a los ejes coordenados y que pasa por los puntos$(-1, 0),\, (3, 0),\, (0, 2), \, (0, -2)$.
Solución


Suponga que el centro de la elipse es $(h, k)$. Si la elipse tiene eje horizontal su ecuación debe ser: 
$\bullet \; $ Si la elipse tiene eje horizontal su ecuación tiene la forma: 




\begin{displaymath}\frac{{\left( x - h \right) }^2}{a^2} + \frac{{\left( y - k \right) }^2}{b^2} = 1\end{displaymath}


Evaluando cada uno de los puntos, obtenemos el siguiente sistema:
(1) $ \; \; \; \; $ Si $x=-1, \; y= 0 \; \Longrightarrow \; \displaystyle{\frac{{\left( h + 1 \right) }^2}{a^2} + \frac{k^2}{b^2} = 1 }$
(2)$ \; \; \; \; $ Si $x=3, \; y= 0 \; \Longrightarrow \;\displaystyle{\frac{{\left( 3 - h \right) }^2}{a^2} + \frac{k^2}{b^2} = 1 }$
(3)$ \; \; \; \; $ Si $x=0, \; y= 2 \; \Longrightarrow \; \displaystyle{\frac{h^2}{a^2} + \frac{{\left( 2 - h \right) }^2}{b^2} = 1}$
(4)$ \; \; \; \; $ Si $x=0, \; y= -2 \; \Longrightarrow \; \displaystyle{\frac{h^2}{a^2} + \frac{{\left( 2 + h \right) }^2}{b^2} = 1}$
De (3) y (4) obtenemos (5) $\; \; \; \; \displaystyle{ \frac{{\left( 2 - h \right) }^2}{b^2} = \frac{{\left( 2 + h \right) }^2}{b^2}} \;\Longrightarrow \; h = 0$
De (1), (2) y (5) tenemos que $ \; \displaystyle{\frac{{\left( h + 1 \right) }^2}{a^2} =\frac{{\left( 3 - h \r... ...row \; \displaystyle{\frac{1}{a^2} = \frac{9}{a^2}} \; \Longrightarrow \; 1 = 9$
Lo cual es falso. Esto nos dice que no existe una elipse de eje horizontal que pase por esos.
$\bullet \; $ Si la elipse tiene eje es vertical, su ecuación tiene la forma:



\begin{displaymath}\frac{{\left( x - h \right) }^2}{b^2} + \frac{{\left( y - k \right) }^2}{a^2} = 1\end{displaymath}


Sustituyendo cada uno de los obtenemos el siguiente sistema:
(6) Si $ \; \; \; \; x=-1,\, y=0 \; \Longrightarrow \; \displaystyle{\frac{{\left( 1 + h \right) }^2}{b^2} + \frac{k^2}{a^2} = 1}$
(7) Si $ \; \; \; \; x=3,\, y=0 \; \Longrightarrow \; \displaystyle{\frac{{\left( 3 - h \right) }^2}{b^2} + \frac{k^2}{a^2} = 1}$
(8) Si $ \; \; \; \; x=0,\, y=2 \; \Longrightarrow \; \displaystyle{\frac{h^2}{b^2} + \frac{{\left( 2 - k \right) }^2}{a^2} = 1}$
(9) Si $ \; \; \; \; x=0,\, y=-2 \; \Longrightarrow \;\displaystyle{ \frac{h^2}{b^2} + \frac{{\left( 2 + k \right) }^2}{a^2} = 1}$
De (6) y (7) tenemos (10) $ \; \; \; \; {\left( 1 + h \right) }^2 = {\left( 3 - h \right) }^2 \Longrightarrow \; h=1$
De (8) y (9) tenemos (11) $ \; \; \; \; {\left( 2 - k \right) }^2 = {\left( 2 + k \right) }^2 \Longrightarrow \; k=0 $
De (6), (8), (10) y (11) tenemos $\displaystyle{\frac{4}{b^2}} = 1$ y $\displaystyle{ \frac{1}{b^2} + \frac{4}{a^2}} = 1 \; \Longrightarrow \; b^2=4$ y $\displaystyle{a^2 = \frac{16}{3}}$.
Con lo cual la ecuación de la elipse es:



\begin{displaymath}\frac{{\left( x - 1 \right) }^2}{4} + \frac{3\,y^2}{16} = 1\end{displaymath}


(7) Si $ \; \; \; \; x=3,\, y=0 \; \Longrightarrow \; $


Hipérbola


Las hipérbolas aparecen en muchas situaciones reales, por ejemplo, un avión que vuela a velocidad supersónica paralelamente a la superficie de la tierra, deja una huella acústica hiperbólica sobre la superficie. La intersección de una pared y el cono de luz que emana de una lámpara de mesa con pantalla troncocónica, es una hipérbola.
La definición de la hipérbola como lugar geométrico es similar a la dada para la elipse, como vemos en seguida








 Definición 

Una hipérbola es el conjunto de puntos $P = (x, y)$ para los que la diferencia de sus distancias a dos puntos distintos prefijados (llamados focos) es constante.
La recta que pasa por los focos corta a la hipérbola en dos puntos llamados vértices. El segmento recto que une los vértices se llama eje transversal y su punto medio es el centro de la hipérbola. Un hecho distintivo de la hipérbola es que su gráfica tiene dos partes separadas, llamadas ramas.


Figura 1.





 Teorema (ecuación canónica de la hipérbola)
La ecuación canónica de la hipérbola con centro en $(h, k)$ es


\begin{displaymath}\frac{{\left( x - h \right) }^2}{a^2} - \frac{{\left( y - k \right) }^2}{b^2} = 1\end{displaymath}




con eje transversal horizontal. Y


\begin{displaymath}\frac{{\left( y - h \right) }^2}{a^2} - \frac{{\left( x - k \right) }^2}{b^2} = 1\end{displaymath}




con eje transversal vertical.
  Los vértices están a una distancia de a unidades del centro y los focos a una distancia de   unidades del centro. Además$b^2 = c^2 - a^2$
 
Figura 2.

Resumiendo:
Si el eje transversal de la hipérbola es horizontal entonces
$\bullet \;$ El centro está en $(h, k)$
$\bullet \;$ Los vértices están en $(h \pm a, k)$
$\bullet \;$ Los focos están en $(h \pm c, k)$.
Si el eje transversal de la hipérbola es vertical entonces
$\bullet \;$ El centro está en $(h, k)$
$\bullet \;$ Los vértices están en $(h,k \pm a)$.
$\bullet \;$ Los focos están en $(h, k \pm c)$.
Una ayuda importante para trazar la gráfica de una hipérbola son sus asíntotas. Toda hipérbola tiene dos asíntotas que se intersecan en su centro y pasan por los vértices de un rectángulo de dimensiones 2a  y 2b  y centro en $(h, k)$.El segmento recto de longitud 2b  que une $(h, k + b)y(h, se llama eje conjugado de la hipérbola. El siguiente teorema identifica la ecuación de las asíntotas.








 Teorema (Asíntotas de una hipérbola)
Si la hipérbola tiene un eje transversal horizontal, las ecuaciones de las asíntotas son


\begin{displaymath}y = k\,\pm \,\frac{b}{a}\,\left( x - h \right)\end{displaymath}




y si el eje transversal es vertical, las ecuaciones de las asíntotas son




\begin{displaymath}y = k\,\pm \,\frac{a}{b}\,\left( x - h \right)\end{displaymath}
Observación : las asíntotas de la hipérbola coinciden con las diagonales del rectángulo de dimensiones $2a$ y $2b$ centro $(h, k)$.Esto sugiere una forma simple de trazar tales asíntotas.







 Definición (excentricidad de una hipérbola)
La excentricidad $e$ de una hipérbola está dada por el cociente




\begin{displaymath}e = \frac{c}{a} \end{displaymath}
Si la excentricidad es grande los focos están cerca del centro y las ramas de la hipérbola son casi rectas verticales. Si la excentricidad es cercana a uno los focos están lejos del centro y la ramas de la hipérbola son más puntiagudas.
La propiedad reflectora de la hipérbola afirma que un rayo de luz dirigido a uno de los focos de una hipérbola se refleja hacia el otro foco (figura 2).







 Teorema (propiedad de reflexión)
La tangente en un punto P de una hipérbola es la bisectriz del ángulo formado por lo segmentos que unen este punto con los focos.

Figura 3.

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